Cos'è il rombo? Un rombo è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali.
ROMBO, figura su un piano, quadrilatero con i lati uguali. Un rombo è un caso speciale di PARALLELOGRAMMA, in cui due lati adiacenti sono uguali, oppure le diagonali si intersecano ad angolo retto, oppure la diagonale divide in due l'angolo. Un rombo con angoli retti si chiama quadrato.
La formula classica per calcolare l'area di un rombo è calcolarne il valore attraverso l'altezza. L'area di un rombo è uguale al prodotto di un lato per l'altezza tracciata su quel lato.
1. L'area di un rombo è uguale al prodotto di un lato e all'altezza tracciata su questo lato:
\[ S = a \cdot h \]
2. Se si conosce il lato di un rombo (tutti i lati di un rombo sono uguali) e l'angolo tra i lati, l'area può essere trovata utilizzando la seguente formula:
\[ S = a^(2) \cdot sin(\alpha) \]
3. Anche l'area di un rombo è uguale al semiprodotto delle diagonali, cioè:
\[ S = \dfrac(d_(1) \cdot d_(2) )(2) \]
4. Se si conoscono il raggio r di un cerchio inscritto in un rombo e il lato del rombo a, la sua area viene calcolata con la formula:
\[ S = 2 \cdot a \cdot R \]
Proprietà del rombo
Nella figura sopra, \(ABCD\) è un rombo, \(AC = DB = CD = AD\) . Poiché il rombo è un parallelogramma, ha tutte le proprietà di un parallelogramma, ma esistono anche proprietà inerenti solo al rombo.
Puoi inserire un cerchio in qualsiasi rombo. Il centro di un cerchio inscritto in un rombo è il punto di intersezione delle sue diagonali. Raggio del cerchio pari alla metà dell'altezza del rombo:
\[ r = \frac( AH )(2) \]
Proprietà del rombo
Le diagonali di un rombo sono perpendicolari;
Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.
Segni di un diamante
Un parallelogramma le cui diagonali si intersecano ad angolo retto è un rombo;
Un parallelogramma le cui diagonali sono le bisettrici degli angoli è un rombo.
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Definizione di diamante
Romboè un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali tra loro.
Calcolatore in linea
Se i lati di un rombo formano un angolo retto, otteniamo piazza.
Le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto.
Le diagonali di un rombo sono le bisettrici dei suoi angoli.
L'area di un rombo, come le aree della maggior parte delle forme geometriche, può essere trovata in diversi modi. Comprendiamo la loro essenza e consideriamo esempi di soluzioni.
Formula per l'area di un rombo di lato e altezza
Diamo un rombo con un lato aa UN e altezza h h H, attratto da questa parte. Poiché il rombo è un parallelogramma, troviamo la sua area allo stesso modo dell'area di un parallelogramma.
S = a ⋅ h S=a\cdot h S=un ⋅H
Aa UN- lato;
h h H- altezza ribassata lateralmente aa UN.
Risolviamo un semplice esempio.
EsempioIl lato di un rombo è 5 (cm). L'altezza abbassata su questo lato ha una lunghezza di 2 (cm). Trova l'area di un rombo S.S S.
Soluzione
A = 5 a = 5 un =5
h = 2 h = 2 h =2
Usiamo la nostra formula e calcoliamo:
S = a ⋅ h = 5 ⋅ 2 = 10 S=a\cdot h=5\cdot 2=10S=un ⋅h =5
⋅
2
=
1
0
(vedi mq.)
Risposta: 10 cmq.
Formula per l'area di un rombo utilizzando le diagonali
Qui tutto è altrettanto semplice. Devi solo prendere la metà del prodotto delle diagonali e ottenere l'area.
S = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 S=\frac(1)(2)\cdot d_1\cdot d_2S=2 1 ⋅ D 1 ⋅ D 2
D1, d2 d_1, d_2 D 1 , D 2 - diagonali di un rombo.
EsempioUna delle diagonali di un rombo è 7 (cm), e l'altra è 2 volte più grande della prima. Trova l'area della figura.
Soluzione
D1 = 7d_1=7 D 1
=
7
d 2 = 2 ⋅ d 1 d_2=2\cdot d_1D 2
=
2
⋅
D 1
Troviamo la seconda diagonale:
d 2 = 2 ⋅ d 1 = 2 ⋅ 7 = 14 d_2=2\cdot d_1=2\cdot 7=14D 2
=
2
⋅
D 1
=
2
⋅
7
=
1
4
Quindi la zona:
S = 1 2 ⋅ 7 ⋅ 14 = 49 S=\frac(1)(2)\cdot7\cdot14=49S=2
1
⋅
7
⋅
1
4
=
4
9
(vedi mq.)
Risposta: 49 cmq.
Formula per l'area di un rombo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro
S = a 2 ⋅ peccato (α) S=a^2\cdot\sin(\alpha)S=UN 2 ⋅ peccato(α)
Aa UN- lato del rombo;
α\alfa α
- qualsiasi angolo del rombo.
Trova l'area di un rombo se ciascuno dei suoi lati misura 10 cm e l'angolo tra due lati adiacenti è di 30 gradi.
Soluzione
A = 10 a = 10 un =1
0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α
=
3
0
∘
Usando la formula otteniamo:
S = a 2 ⋅ peccato (α) = 100 ⋅ peccato (3 0 ∘) = 50 S=a^2\cdot\sin(\alpha)=100\cdot\sin(30^(\circ))= 50S=UN 2
⋅
peccato(α) =1
0
0
⋅
peccato (3 0
∘
)
=
5
0
(vedi mq.)
Risposta: 50 cmq.
Formula per l'area di un rombo in base al raggio del cerchio inscritto e dell'angolo
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))S=peccato(α)4 ⋅ R 2
Rr R- raggio del cerchio inscritto in un rombo;
α\alfa α
- qualsiasi angolo del rombo.
Trova l'area di un rombo se l'angolo compreso tra le basi è di 60 gradi e il raggio del cerchio inscritto è 4 (cm).
Soluzione
R = 4 r = 4 r =4
α = 6 0 ∘ \alpha=60^(\circ)α
=
6
0
∘
S = 4 ⋅ r 2 sin (α) = 4 ⋅ 16 sin (6 0 ∘) ≈ 73,9 S=\frac(4\cdot r^2)(\sin(\alpha))=\frac(4\ cdot 16)(\sin(60^(\circ)))\circa73,9S=peccato(α)4 ⋅ R 2 = peccato (6 0 ∘ ) 4 ⋅ 1 6 ≈ 7 3 . 9 (vedi mq.)
Risposta: 73,9 cmq.
Formula per l'area di un rombo in base al raggio del cerchio e del lato inscritto
S = 2 ⋅ a ⋅ r S=2\cdot a\cdot rS=2 ⋅ un ⋅R
Aa UN-lato del rombo;
r r R- raggio del cerchio inscritto in un rombo.
Prendiamo la condizione del problema precedente, ma conosciamo invece dell'angolo il lato del rombo pari a 5 cm.
Soluzione
A = 5 a = 5 un =5
r = 4 r = 4 r =4
S = 2 ⋅ a ⋅ r = 2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 40 S=2\cdot a\cdot r=2\cdot5\cdot4=40S=2 ⋅ un ⋅r =2 ⋅ 5 ⋅ 4 = 4 0 (vedi mq.)
Risposta: 40 cmq.
Un rombo è una figura speciale in geometria. Grazie alle sue proprietà speciali, non esiste una, ma diverse formule che possono essere utilizzate per calcolare l'area di un rombo. Quali sono queste proprietà e quali sono le formule più comuni per trovare l'area di questa figura? Scopriamolo.
Quale figura geometrica è chiamata rombo?
Prima di scoprire qual è l'area di un rombo, vale la pena scoprire che tipo di figura è.
Dai tempi della geometria euclidea, un rombo è un quadrilatero simmetrico, i cui quattro lati sono uguali in lunghezza e paralleli a coppie.
Origine del termine
Il nome di questa figura è giunto nella maggior parte delle lingue moderne dal greco, attraverso la mediazione del latino. Il “progenitore” della parola “rombo” era il sostantivo greco ῥόμβος (tamburello). Sebbene sia difficile per gli abitanti del XX secolo, abituati ai tamburelli rotondi, immaginarli in qualsiasi altra forma, tra gli Elleni questi strumenti musicali erano tradizionalmente realizzati non rotondi, ma a forma di diamante.
Nella maggior parte delle lingue moderne, questo termine matematico è usato come in latino: rombus. Tuttavia, in inglese, i rombi sono talvolta chiamati diamante (diamante o diamante). Questa figura ha ricevuto questo soprannome per la sua forma speciale, che ricorda una pietra preziosa. Di norma, un termine simile non viene utilizzato per tutti i rombi, ma solo per quelli in cui l'angolo di intersezione dei suoi due lati è pari a sessanta o quarantacinque gradi.
Questa figura fu menzionata per la prima volta nelle opere del matematico greco vissuto nel primo secolo della nuova era: Airone di Alessandria.
Quali proprietà ha questa figura geometrica?
Per trovare l'area di un rombo, prima di tutto devi sapere quali caratteristiche ha questa figura geometrica.
In quali condizioni un parallelogramma è un rombo?
Come sai, ogni rombo è un parallelogramma, ma non tutti i parallelogrammi sono un rombo. Per affermare con precisione che la figura presentata è effettivamente un rombo, e non un semplice parallelogramma, deve corrispondere a una delle tre caratteristiche principali che contraddistinguono un rombo. O tutti e tre insieme.
- Le diagonali di un parallelogramma si intersecano con un angolo di novanta gradi.
- Le diagonali dividono gli angoli in due, fungendo da bisettrici.
- Non solo i lati paralleli, ma anche quelli adiacenti hanno la stessa lunghezza. Questa, tra l'altro, è una delle principali differenze tra un rombo e un parallelogramma, poiché la seconda figura ha solo lati paralleli di uguale lunghezza, ma non adiacenti.
In quali condizioni un rombo è un quadrato?
Secondo le sue proprietà, in alcuni casi un rombo può diventare contemporaneamente un quadrato. Per confermare chiaramente questa affermazione è sufficiente ruotare il quadrato in qualsiasi direzione di quarantacinque gradi. La figura risultante sarà un rombo, ciascuno dei cui angoli è pari a novanta gradi.
Inoltre, per confermare che il quadrato è un rombo, puoi confrontare le caratteristiche di queste figure: in entrambi i casi, tutti i lati sono uguali e le diagonali sono bisettrici e si intersecano con un angolo di novanta gradi.
Come scoprire l'area di un rombo usando le sue diagonali
Nel mondo moderno quasi tutti i materiali per eseguire i calcoli necessari possono essere trovati su Internet. Pertanto, esistono molte risorse dotate di programmi per il calcolo automatico dell'area di una particolare figura. Inoltre, se (come nel caso del rombo) esistono più formule per questo, allora è possibile scegliere quale è più conveniente da usare. Tuttavia, prima di tutto, devi essere in grado di calcolare tu stesso l'area di un rombo senza l'aiuto di un computer e navigare tra le formule. Ce ne sono molti per il rombo, ma i più famosi sono quattro.
Uno dei modi più semplici e comuni per scoprire l'area di questa figura è avere informazioni sulla lunghezza delle sue diagonali. Se il problema contiene questi dati, puoi applicare la seguente formula per trovare l'area: S = KM x LN/2 (KM e LN sono le diagonali del rombo KLMN).
Puoi verificare l'affidabilità di questa formula nella pratica. Diciamo che un rombo KLMN ha la lunghezza di una delle sue diagonali KM - 10 cm e la seconda LN - 8 cm. Quindi sostituiamo questi dati nella formula sopra e otteniamo il seguente risultato: S = 10 x 8/ 2 = 40 cm2.
Formula per calcolare l'area di un parallelogramma
C'è un'altra formula. Come già detto nella definizione di rombo, non è solo un quadrilatero, ma anche un parallelogramma, e possiede tutte le caratteristiche di questa figura. In questo caso, per trovarne l'area, è consigliabile utilizzare la formula usata per il parallelogramma: S = KL x Z. In questo caso KL è la lunghezza del lato del parallelogramma (rombo) e Z è la lunghezza lunghezza dell'altezza disegnata su questo lato.
In alcuni problemi non viene fornita la lunghezza del lato, ma si conosce il perimetro del rombo. Poiché la formula per trovarla è stata indicata sopra, puoi usarla per scoprire la lunghezza del lato. Quindi, il perimetro della figura è 10 cm. La lunghezza del lato può essere trovata invertendo la formula del perimetro e dividendo 10 per 4. Il risultato sarà 2,5 cm: questa è la lunghezza desiderata del lato del rombo.
Ora vale la pena provare a sostituire questo numero nella formula, sapendo che anche la lunghezza dell'altezza disegnata lateralmente è pari a 2,5 cm. Ora proviamo a inserire questi valori nella formula sopra per l'area di a parallelogramma. Risulta che l'area del rombo è S = 2,5 x 2,5 = 6,25 cm 2.
Altri modi per calcolare l'area di un rombo
Coloro che hanno già imparato i seni e i coseni possono utilizzare le formule che li contengono per trovare l'area di un rombo. Un classico esempio è la seguente formula: S = KM 2 x Sin KLM. In questo caso l'area della figura è uguale al prodotto dei due lati del rombo moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro. E poiché tutti i lati di un rombo sono uguali, è più facile quadrare immediatamente un lato, come mostrato nella formula.
Controlliamo questo schema nella pratica, e non solo per un rombo, ma per un quadrato, che, come sai, ha tutti gli angoli retti, il che significa che sono uguali a novanta gradi. Diciamo che uno dei lati misura 15 cm. È noto anche che il seno di un angolo di 90° è uguale a uno. Quindi, secondo la formula, S = 15 x 15 x Sin 90° = 255x1 = 255 cm 2.
In aggiunta a quanto sopra, in alcuni casi viene utilizzata un'altra formula, utilizzando il seno per determinare l'area di un rombo: S = 4 x R 2 /Sin KLM. In questa forma di realizzazione viene utilizzato il raggio di un cerchio inscritto in un rombo. Viene elevato alla potenza del quadrato e moltiplicato per quattro. E l'intero risultato viene diviso per il seno dell'angolo più vicino alla figura inscritta.
Ad esempio, per semplicità di calcolo, prendiamo nuovamente un quadrato (il seno del suo angolo sarà sempre uguale a uno). Il raggio del cerchio in esso inscritto è 4,4 cm Quindi l'area del rombo verrà calcolata come segue: S = 4 x 4,4 2 / Sin 90 ° = 77,44 cm 2.
Le formule di cui sopra per trovare il raggio di un rombo non sono le uniche nel loro genere, ma sono le più facili da comprendere ed eseguire i calcoli.
è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali.
Un rombo con angoli retti è chiamato quadrato ed è considerato un caso speciale di rombo. Puoi trovare l'area di un rombo in vari modi, utilizzando tutti i suoi elementi: lati, diagonali, altezza. La formula classica per calcolare l'area di un rombo è calcolarne il valore attraverso l'altezza.
Un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando questa formula è molto semplice. Devi solo sostituire i dati e calcolare l'area.
Area di un rombo passante per le diagonali
Le diagonali di un rombo si intersecano ad angolo retto e nel punto di intersezione si dividono a metà.
La formula per calcolare l'area di un rombo rispetto alle sue diagonali è il prodotto delle sue diagonali diviso per 2.
Diamo un'occhiata ad un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando le diagonali. Diamo un rombo con le diagonali
d1 =5 cm e d2 =4. Troviamo la zona. 
La formula per l'area di un rombo attraverso i lati implica anche l'uso di altri elementi. Se un cerchio è inscritto in un rombo, l'area della figura può essere calcolata dai lati e dal suo raggio:
Anche un esempio di calcolo dell'area di un rombo attraverso i lati è molto semplice. Devi solo calcolare il raggio del cerchio inscritto. Può essere derivato dal teorema di Pitagora e utilizzando la formula.
Area di un rombo passante per lato e angolo
La formula per l'area di un rombo in termini di lato e angolo viene utilizzata molto spesso.
Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un rombo utilizzando un lato e un angolo.
Compito: Dato un rombo le cui diagonali sono d1 = 4 cm, d2 = 6 cm L'angolo acuto è α = 30°. Trova l'area della figura utilizzando il lato e l'angolo.
Per prima cosa troviamo il lato del rombo. Usiamo per questo il teorema di Pitagora. Sappiamo che nel punto di intersezione le diagonali si bisecano e formano un angolo retto. Quindi: 
Sostituiamo i valori:
Ora conosciamo il lato e l'angolo. Troviamo l'area: 
è un parallelogramma in cui tutti i lati sono uguali, allora per esso valgono le stesse formule del parallelogramma, compresa la formula per trovare l'area attraverso il prodotto tra altezza e lati.
L'area di un rombo si può trovare conoscendo anche le sue diagonali. Le diagonali dividono il rombo in quattro triangoli rettangoli assolutamente identici. Se li ordiniamo per ottenere un rettangolo, la sua lunghezza e larghezza saranno uguali a un'intera diagonale e metà della seconda diagonale. Pertanto, l'area di un rombo si trova moltiplicando le diagonali del rombo, ridotte per due (come l'area del rettangolo risultante).
Se hai a disposizione solo un angolo e un lato, puoi usare la diagonale come assistente e disegnarla di fronte all'angolo noto. Quindi dividerà il rombo in due triangoli congruenti, le cui aree si sommeranno per darci l'area del rombo. L'area di ciascuno dei triangoli sarà uguale alla metà del prodotto del quadrato del lato e del seno dell'angolo noto, come l'area di un triangolo isoscele. Poiché esistono due triangoli di questo tipo, i coefficienti vengono ridotti, lasciando solo il lato alla seconda potenza e il seno:
Se inscrivi un cerchio all'interno di un rombo, il suo raggio sarà correlato al lato che forma un angolo di 90°, il che significa che il doppio del raggio sarà uguale all'altezza del rombo. Sostituendo nella formula precedente invece dell'altezza h=2r, otteniamo l'area S=ha=2ra
Se insieme al raggio del cerchio inscritto non è dato un lato, ma un angolo, allora devi prima trovare il lato disegnando l'altezza in modo tale da ottenere un triangolo rettangolo con un dato angolo. Quindi il lato a può essere trovato dalle relazioni trigonometriche utilizzando la formula 
. Sostituendo questa espressione nella stessa formula standard per l'area di un rombo, otteniamo 
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